Forma del vertice

Calcolatrice per la conversione dalla forma standard alla forma del vertice

La calcolatrice determina la forma del vertice della funzione quadratica passo dopo passo.

La funzione quadratica generale

$y (x) = a x^{2} + b x + c$

viene convertito nella forma di vertice

$y (x) = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Inserisci i coefficienti a, b e c della funzione quadratica:

Conversione alla forma del vertice con Espansione quadratica:

Il risultato è la forma del vertice:

La forma del vertice della funzione quadrata è:

$y (x) = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

o se la funzione quadrata è in forma base con a=1:

$y (x) = {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Dove x_V e y_V sono le coordinate x e y del vertice della parabola. Il vertice è il minimo o il massimo della funzione, a seconda che la parabola sia ascendente o discendente.

Vertice di una parabola in forma p,q

Vertice di una parabola in forma generale

Vertice della parabola

La determinazione del vertice di una funzione quadratica si esegue derivando la funzione. La condizione per un estremo è che la derivata prima della funzione svanisca. Per una funzione quadratica questo è sufficiente per un minimo o un massimo.

Il punto di partenza è la funzione quadratica generale:

$y (x) = a x^{2} + b x + c$

La derivata della forma generale è:

$y' = 2 a x + b$

La condizione per il vertice è che la derivata sia 0. Ciò significa che la seguente equazione è valida:

$2 a x + b = 0$

Risolvendo si ottiene la coordinata x del vertice:

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}$

Inserendo nella funzione quadratica generale si ottiene la coordinata y del vertice:

$y_{V} = - \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Dalla derivata seconda della funzione quadratica segue se il vertice è un massimo o un minimo. La derivata seconda è:

$y'' = 2 a$

Quindi per a > 0 il vertice è un valore minimo della parabola e per a < 0 un valore massimo.

Trasformazione dalla forma base alla forma del vertice

Nella forma base, il coefficiente prima di x² è uguale a 1. La forma base della funzione quadratica con i coefficienti costanti p e q è

$y (x) = x^{2} + p x + q$

Se la funzione quadrata è in forma base, il vertice della parabola è dato da:

$x_{V} = - \frac{p}{2}$

$y_{V} = - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$

Trasformazione dalla forma base alla forma del vertice con espansione quadratica e applicazione del primo binomio:

$x^{2} + p x + q =$

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x + \frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x - \frac{- p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Calcolatrice per la conversione dalla forma base alla forma del vertice

Inserisci i coefficienti p e q dell'equazione quadratica:

Conversione alla forma del vertice con espansione quadratica:

Trasformazione da forma standard a forma di vertice

Forma standard della funzione quadratica con i coefficienti costanti a, b e c:

$y = a x^{2} + b x + c$

Se la funzione quadratica è nella forma standard il vertice è dato da:

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}$

$y_{V} = - \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Trasformazione dalla forma standard alla forma del vertice con Espansione quadratica e Applicazione del primo binomio:

$a x^{2} + b x + c =$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c =$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + c =$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}) - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$a {(x - \frac{- b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Dalla forma del vertice alla forma standard

Conversione della forma del vertice della funzione quadratica nella forma standard.

Il punto di partenza è la forma del vertice

$y = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V} =$

Risolvendo il quadrato si ottiene:

$a (x^{2} - 2 x x_{V} + {x_{V}}^{2}) + y_{V} =$

Moltiplicando la parentesi si ottiene:

$a x^{2} - 2 a x x_{V} + a {x_{V}}^{2} + y_{V} =$

Inserimento di x_V e y_V risultati:

$a x^{2} + 2 a x \frac{b}{2 a} + a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

L'accorciamento si traduce in:

$a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

Le sommatorie si annullano a vicenda e la funzione quadratica generale segue:

$a x^{2} + b x + c$

Calcolo dei punti zero dalla forma del vertice

Dalla forma del vertice della funzione quadratica è facile calcolare gli zeri della funzione.

Partendo dalla forma del vertice

$y = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

la condizione per gli zeri è che la funzione sia zero

$0 = a {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

e rimodellare i rendimenti

${(x - x_{V})}^{2} = - \frac{y_{V}}{a}$

la radice quadrata porta a

$x - x_{V} = \pm \sqrt{- \frac{y_{V}}{a}}$

e infine agli zeri

$x_{1,2} = x_{V} \pm \sqrt{- \frac{y_{V}}{a}}$

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